惯性矩
我们将物体的惯性矩 I 定义为
\[I = \sum_{i} m_i r_i^2 \]
对于构成物体的所有点质量。 因为\(r\)是构成物体的每块质量块到旋转轴的距离，所以任何物体的惯性矩都取决于所选轴。 为了看这个，让我们举一个简单的例子，在无质量（质量可以忽略不计）杆的末端有两个质量（图\(\PageIndex{1}\)），然后计算两个不同轴的惯性矩。 在这种情况下，质量之和很简单，因为杠铃末端的两个质量可以近似为点质量，因此总和只有两个项。
在轴位于杠铃中心的情况下，两个质量 m 中的每一个都与轴线相距一段距\(R\)离，给出的惯性矩为
\[I_{1} = mR^{2} + mR^{2} = 2mR^{2} \ldotp\]
如果轴线位于杠铃末端（穿过其中一个质量），则惯性矩为
\[I_{2} = m(0)^{2} + m(2R)^{2} = 4mR^{2} \ldotp\]
从这个结果中，我们可以得出结论，旋转杠铃绕末端的难度是绕杠铃中心旋转的难度的两倍。
图\(\PageIndex{1}\)：(a) 杠铃，其旋转轴穿过其中心；(b) 一端有旋转轴的杠铃。
在这个例子中，我们有两个点质量，总和很容易计算。 但是，要处理不像点的物体，我们需要仔细考虑方程中的每个项。 该方程要求我们对每个 “质量块” 求和距旋转轴一定距离。 但是每个 “质量块” 到底是什么意思呢？ 回想一下，在我们推导这个方程时，每块质量的速度大小相同，这意味着整个质量块与旋转轴必须有一个单一的距离 r。 但是，除非我们取一块无穷小的质量 dm，否则这是不可能的，如图所示\(\PageIndex{2}\)。
图\(\PageIndex{2}\)：使用无穷小的质量块来计算对总惯性矩的贡献。
需要使用无穷小的质量块 dm，这表明我们可以通过计算无穷小质量上的积分来写出惯性矩，而不是对有限质量进行离散求和：
\[I = \sum_{i} m_{i} r_{i}^{2}\]
变成
\[I = \int r^{2} dm \ldotp \label{10.19}\]
实际上，这是我们概括复杂形状方程所需的形式。 最好详细地设计出具体的例子，以了解如何计算特定形状的惯性矩。 这是本节其余大部分内容的重点。
一根均匀的细杆，轴线穿过中心
假设质量为 M、长度为 L 的均匀（密度和形状）细棒，如图所示\(\PageIndex{3}\)。 我们想要一根细杆，这样我们就可以假设杆的横截面积很小，并且可以将杆视为沿着一维直线的一串质量。 在本示例中，为简单起见，旋转轴垂直于杆并穿过中点。 我们的任务是计算围绕该轴的惯性矩。 我们调整轴的方向，使 z 轴是旋转轴，而 x 轴穿过杆的长度，如图所示。 这是一个方便的选择，因为这样我们就可以沿 x 轴进行积分。
图\(\PageIndex{3}\)：计算一根均匀细杆绕穿过杆中心的轴线的惯性矩 I。
我们将 dm 定义为构成杆的一个小质量元素。 惯性矩积分是质量分布上的积分。 但是，我们知道如何在太空上进行整合，而不是在质量上进行整合。 因此，我们需要找到一种方法将质量与空间变量联系起来。 我们使用物体的线性质量密度\(\lambda\)，即单位长度的质量。 由于这个物体的质量密度是均匀的，我们可以这样写
\[\lambda = \frac{m}{l}\; or\; m = \lambda l \ldotp\]
如果我们取这个方程两边的微分，我们会发现
\[dm = d(\lambda l) = \lambda (dl)\]
因为\(\lambda\)是常数。 为了方便起见，我们选择将杆沿着 x 轴定向，这正是这种选择变得非常有用的地方。 请注意，一根杆 dl 完全沿 x 轴放置，长度为 dx；实际上，在这种情况下，dl = dx。 因此，我们可以写 dm =\(\lambda\) (dx)，给我们一个我们知道如何处理的积分变量。 每块质量 dm 与轴的距离由变量 x 给出，如图所示。 把这些放在一起，我们得到
\[I = \int r^{2} dm = \int x^{2} dm = \int x^{2} \lambda dx \ldotp\]
最后一步是要谨慎对待我们整合的局限性。 杆从 x = 延伸\(− \frac{L}{2}\)到 x =\(\frac{L}{2}\)，因为轴位于杆的中间 x = 0。 这给了我们
\[\begin{split} I & = \int_{- \frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} x^{2} \lambda dx = \lambda \frac{x^{3}}{3} \Bigg|_{- \frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \\ & = \lambda \left(\dfrac{1}{3}\right) \Bigg[ \left(\dfrac{L}{2}\right)^{3} - \left(- \dfrac{L}{2}\right)^{3} \Bigg] = \lambda \left(\dfrac{1}{3}\right) \left(\dfrac{L^{3}}{8}\right) (2) = \left(\dfrac{M}{L}\right) \left(\dfrac{1}{3}\right) \left(\dfrac{L^{3}}{8}\right) (2) \\ & = \frac{1}{12} ML^{2} \ldotp \end{split}\]
接下来，我们计算同一根均匀细杆的惯性矩，但轴选择不同，因此我们可以比较结果。 我们预计，围绕穿过质心的轴的惯性矩小于端点轴，就像本节开头的杠铃示例一样。 之所以发生这种情况，是因为更多的质量分布在离旋转轴更远的地方。
末端有轴的均匀细杆
现在考虑质量\(M\)和长度均匀的细杆\(L\)，但是这次我们将旋转轴移动到杆的末端。 我们希望找到围绕这个新轴的惯性矩（图\(\PageIndex{4}\)）。
图\(\PageIndex{4}\)：计算一根均匀细杆绕穿过杆末端的轴线的惯性矩\(I\)。
该\(dm\)量再次被定义为构成棒的一个小质量元素。 和以前一样，我们获得
\[I = \int r^{2} dm = \int x^{2} dm = \int x^{2} \lambda dx \ldotp\]
但是，这次我们对集成有不同的限制。 由于该轴位于杆的末端\(x = L\)，因此杆从\(x = 0\)延伸到处\(x = 0\)。 因此，我们发现
\[\begin{align} I & = \int_{0}^{L} x^{2} \lambda\, dx \\[4pt] &= \lambda \frac{x^{3}}{3} \Bigg|_{0}^{L} \\[4pt] &=\lambda \left(\dfrac{1}{3}\right) \Big[(L)^{3} - (0)^{3} \Big] \\[4pt] & = \lambda \left(\dfrac{1}{3}\right) L^{3} = \left(\dfrac{M}{L}\right) \left(\dfrac{1}{3}\right) L^{3} \\[4pt] &= \frac{1}{3} ML^{2} \ldotp \label{ThinRod} \end{align} \]
请注意，杆绕其端点的旋转惯性比围绕其中心的旋转惯性（与杠铃示例一致）大四倍。